强性逼近

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[拼音]:qiangxing bijin

[外文]:strong approximation

一种特殊的函式逼近方式。强性逼近的概念起源于数项级数的强性求和。设有级数

,记其前n+1项之和为

。 如果存在正数p以及常数S适合

,则说

关于指数p强性可和,则它关于指数 p┡也强性可和。假设ƒ(x)是有周期2π 的连续函式,Sn(ƒ, x)为其傅立叶级数之前n+1项之和,则对于任何给定的正数p,都有

,这里

。这是早期的结论。20世纪60年代初,G.亚历克西茨首先提出n趋于无穷时,量

的阶与函式ƒ(x)的构造性态之间的关系问题,这就是所谓强性逼近问题。强性逼近的许多有趣的结果,常常表现出一些逼近定理都有可能强化。例如,对于ƒ∈Lipα(即满足条件:

)的ƒ(x)的全体,L.费耶尔和的逼近定理就可强化为

而瓦莱-普桑和的逼近定理则可强化为

式中сp是仅与p有关的正数,E奱(ƒ)为阶不超过n的三角多项式对ƒ的最佳逼近值。对于反问题,则成立如下的不等式:

p≥1时,

特别,若r是非负整数,0<α<1,β>(r+α)p,则

等价于

∈Lipα。

强性逼近的另一问题是对于正数序列{λk},研究级数

的收敛性所蕴涵著的 ƒ的构造性态。简单的结论是:当p>1时,

(*)蕴函

,r为正整数,0≤α<1;则当0<α0,使得

对一切x与h都成立。

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